https://bodybydarwin.com
Slider Image

Navegant per la nostra obsessió per objectes unilaterals

2020

Probablement heu trobat objectes d’una sola cara centenars de vegades a la vostra vida diària, com el símbol universal del reciclatge, que es troba imprès a la part posterior de llaunes d’alumini i ampolles de plàstic.

Aquest objecte matemàtic s’anomena tira de Möbius. Ha fascinat a ecologistes, artistes, enginyers, matemàtics i molts altres des del seu descobriment, el 1858, per August Möbius, un matemàtic alemany que va morir fa 150 anys, el 26 de setembre de 1868.

Möbius va descobrir la banda d'un sol costat el 1858 mentre feia la càtedra d'astronomia i mecànica superior a la Universitat de Leipzig. (Un altre matemàtic anomenat Listing en realitat ho va descriure uns mesos abans, però no va publicar el seu treball fins al 1861.) Sembla que Möbius va trobar la franja de Möbius mentre treballava en la teoria geomètrica dels políedres, figures sòlides compostes de vèrtexs, arestes i cares planes. .

Es pot crear una tira de Möbius agafant una tira de paper, donant-li un nombre estrany de mitges voltes i, a continuació, tapar els extrems junts per formar un llaç. Si agafes un llapis i dibuixes una línia al centre de la banda, veuràs que la línia sembla ser que circula pels dos costats del bucle.

El concepte d'un objecte d'una cara va inspirar artistes com el dissenyador gràfic holandès MC Escher, la xilografia del qual "Möbius Strip II" mostra formigues vermelles que s'arrosseguen una després de l'altra per una banda de Möbius.

La franja Möbius té més que una propietat sorprenent. Per exemple, proveu de prendre un parell de tisores i talleu la tira per la meitat de la línia que acabeu de dibuixar. Potser us sorprèn que us quedin no amb dues tires més petites a una cara de Möbius, sinó amb un llarg bucle a dues cares. Si no teniu cap paper a la mà, la xilografia d'Escher "M bius Strip I" mostra què passa quan es talla una franja M bius al llarg de la seva línia central.

Si bé la franja té cert atractiu visual, el seu major impacte ha estat en les matemàtiques, on va contribuir a impulsar el desenvolupament de tot un camp anomenat topologia.

Un topòleg estudia les propietats d'objectes que es conserven quan es mouen, dobleguen, s’estenen o retorcen, sense tallar ni enganxar parts. Per exemple, un parell d’orelles enredades és en un sentit topològic el mateix que un parell d’oretes sense lligar, perquè canviar l’un a l’altre només requereix moure’s, doblegar-se i torçar-se. No es necessita tallar ni enganxar per transformar-los.

Un altre dels objectes topològicament iguals són una tassa de cafè i un bunyol. Com que els dos objectes tenen un sol forat, un es pot deformar a l'altre només mitjançant estiraments i doblegaments.

El nombre de forats en un objecte és una propietat que només es pot canviar mitjançant tall o enganxament. Aquesta propietat va dir que genus d'un objecte ows permet dir que un parell d’oretes i un bunyol són topològicament diferents, ja que un bunyol té un forat, mentre que un parell d’oretes no té forats.

Malauradament, una banda M bius i un llaç a dues cares, com una polsera de consciència típica de silicona, semblen tenir un forat, per la qual cosa aquesta propietat és insuficient per distingir-los a un mínim d'un topòleg punt de vista.

En canvi, la propietat que distingeix una franja M bius d'un llaç a dues cares s'anomena orientabilitat. Igual que el seu nombre de forats, l’orientabilitat d’un objecte només es pot canviar mitjançant tall o enganxament.

Imagineu-vos que escriviu una nota en una superfície visible i, a continuació, passegeu per aquesta superfície. La superfície és orientable si, quan torneu del passeig, sempre podeu llegir la nota. En una superfície no orientable, només podreu tornar del vostre passeig només per comprovar que les paraules que heu escrit s'han convertit aparentment en la seva imatge mirall i que només es poden llegir de dreta a esquerra. Al bucle a dues cares, la nota sempre llegirà d'esquerra a dreta, independentment d'on el va fer el viatge.

Atès que la banda de M bius no és orientable, mentre que el llaç de dues cares és orientable, això significa que la banda de Möbius i el llaç de dues cares són topològicament diferents.

El concepte d’orientabilitat té implicacions importants. Preneu enantiòmers. Aquests compostos químics tenen les mateixes estructures químiques, tret d’una diferència clau: són imatges mirall les unes de les altres. Per exemple, la química L-metamfetamina és un ingredient en els inhaladors de vapor Vicks. La imatge mirall, la metamfetamina, és un fàrmac il·legal de classe A. Si visquéssim en un món no orientable, aquests productes químics serien indistinguibles.

El descobriment d’August Möbius va obrir noves maneres d’estudiar el món natural. L’estudi de la topologia continua produint resultats impressionants. Per exemple, l’any passat, la topologia va portar als científics a descobrir estats nous de la matèria estranys. La Medalla de Camps d’enguany, el màxim honor en matemàtiques, va ser concedida a Akshay Venkatesh, un matemàtic que va ajudar a integrar la topologia amb altres camps com la teoria de nombres.

David Gunderman és doctor. estudiant de Matemàtica Aplicada a la Universitat de Colorado. Richard Gunderman és professor del Canceller de Medicina, Arts Liberals i Filantropia a la Universitat d'Indiana. Aquest article apareixia originalment a La conversa.

El 60è aniversari de la NASA, els nostres lectors diuen que encara es veu bé

El 60è aniversari de la NASA, els nostres lectors diuen que encara es veu bé

L’evitable planeta Nou pot ser el responsable de l’estranya òrbita d’aquest asteroide

L’evitable planeta Nou pot ser el responsable de l’estranya òrbita d’aquest asteroide

El buit insígnia de Roomba aprèn la vostra llar i buida la seva pròpia brutícia, a un preu

El buit insígnia de Roomba aprèn la vostra llar i buida la seva pròpia brutícia, a un preu